ALBERTI_Matematica 2.0: 2016

giovedì 1 dicembre 2016

Piano di ammortamento francese

Trovi la definizione e le principali formule dell'ammortamento francese alle pagine 37 e 38

Dato il piano di ammortamento illustrato nel riquadro a destra, calcola il tasso di interesse applicato. Redigi poi, sempre su foglio elettronico, un secondo piano di rimborso di un prestito di € 50.000 in 15 rate costanti, al tasso di interesse del 2.5%

sabato 26 novembre 2016

E non ci lasceremo mai...(le rendite perpetue!)

Trovi la definizione e la formula della rendita perpetua a pag. 25

venerdì 11 novembre 2016

Come si trova il tasso di una rendita???

Una somma di € 40.000 verrà rimborsata con 15 rate annuali posticipate da € 3200 ciascuna.
Attraverso l'uso di uno foglio elettronico e procedendo per approssimazioni successive,

calcola.................

utilizzando anche il metodo dell'interpolazione lineare che trovi di seguito...

Interpolazione lineare

E’ una procedura che consente di ricavare il valore di una variabile non esplicitabile che soddisfa una determinata equazione.

Sia y una quantità che dipende da un’altra quantità x e sia disponibile una tabella che riporta valori di y corrispondenti a valori di x. Se si vuole trovare il valore y* collegato ad un valore x* non presente nella tabella l’interpolazione lineare permette di ottenere una stima per y* procedendo nel modo seguente:

a) vanno dapprima individuati, sulla tabella, i due valori xa ed xb della quantità x entro i quali è compreso x* e i due valori ya ed yb che ad essi rispettivamente corrispondono;

b) si ricava poi un valore stimato di y* attraverso la formula, sostituendo x* a x:

(1)

Si parla di interpolazione lineare perchè la formula (1) nasce dall’ipotesi che la dipendenza di y da x sia rappresentabile attraverso una retta nell’intervallo delimitato da xa ed xb (si tratta chiaramente di una scelta arbitraria semplificativa perchè la dipendenza vera, sconosciuta, potrebbe essere diversa).

mercoledì 19 ottobre 2016

Che bello vivere di "rendita"...

Ora risolvi!

1. Tizio intende costituire la somma di 4500 effettuando 9

versamenti annui al tasso del 7%. Calcolare:

a) la rata di costituzione

b) il fondo di costituzione dopo il versamento della quarta rata

2. Trovare il valore attuale al 12% annuo di 13 annualità di € 8800 ciascuna, la prima delle quali è esigibile:

a) oggi

b) fra 1 anno

c) fra 7 anni

giovedì 6 ottobre 2016

Il matematico risolve problemi...

Un individuo vuole disporre tra due anni di un capitale di 12000. A tal ﬁne, in banca ha già versato 3 anni fa 7000 al tasso del 10%. Egli pensa di versare oggi 500 e il prossimo anno 500. Quale tasso dovrà stipulare con la banca per ottenere il capitale tra due anni?

Luca ha versato in banca due anni e tre mesi fa 6000 euro al tasso del 3% annuale. Oggi versa 3000 euro. Tra quanto tempo potrà ritirare 12000 euro?

Mario ha diritto a riscuotere 7500 euro fra due anni e tre mesi. Se desidera ricevere oggi il capitale, quanto riscuote, se il tasso applicato è il 5% ?

Stefano ha diritto a riscuotere 7500 euro fra due anni e tre mesi . Chiede di avere, in cambio di tale credito, 6500 euro fra 6 mesi. Qual è il tasso applicato all'operazione?

giovedì 29 settembre 2016

Alla ricerca del tempo perduto...

Calcola in quanto tempo un capitale di € 12 000 produce un montante di € 15 000 al tasso annuo del 9%.

[t = 2^a 7^m 2^g]

Calcola in quanto tempo un capitale di € 11 000 produce un montante di € 13 000 al tasso annuo dell’8,5%.

[t = 2^a 17^g]

lunedì 26 settembre 2016

Un tasso vale l'altro (la vendetta)...?

Trovi le formule dei tassi equivalenti
in capitalizzazione composta a pagina 9...
Ora risolvi:

Calcola il tasso trimestrale equivalente al tasso del 7,25% annuale.

[i₃ = 0,01765]

Calcola il tasso quadrimestrale equivalente al tasso del 9,35% annuale.

[i₄ = 0,03024]

Qual è il valore attuale di un capitale di € 4500 che scadrà fra 1 anno e 8 mesi al tasso di interesse composto del 9,5% annuo?

[€ 3868,32]

Qual è il valore attuale di un capitale di € 5500 che scadrà fra 2 anni e 3 mesi al tasso di interesse composto del 10,5% annuo?

[€ 4393,37]

venerdì 20 maggio 2016

Esercizi sulla capitalizzazione composta

Calcolare il montante ad interesse composto annuo dei seguenti capitali:
a) € 340, tasso annuo 6, 15% per 10 anni
b) € 1400, tasso annuo 6% per 2 anni e 3 mesi
c) € 3200, tasso annuo 5% per 124 giorni.

Calcolare quale capitale impiegato per 10 anni e 3 mesi ad interesse composto, al tasso annuo dell'8,5% da come montante € 9608.

Sei anni fa tizio ha versato presso una banca la somma di € 3500 . Inoltre tre anni e mezzo fa ha versato una certa somma x. Il montante complessivo che egli ritira oggi calcolato al tasso annuo composto del 9,75% è di € 9440,13. Calcolare l'importo del secondo versamento.

Determina l’interesse composto e il montante realizzato impiegando:
€ 1765 al 1,5% annuo per 8 anni;

Calcola il capitale che:
impiegato per 6 anni al 2,3 % annuo produce un montante complessivo di € 14700

Calcola il tasso annuo che, applicato ad un capitale di € 74000, frutta un interesse di € 500,70 in 5 anni

E se il montante cresce in modo esponenziale?

Capitalizzazione composta

Il regime di capitalizzazione composto consiste nella capitalizzazione periodica degli interessi.

Il periodo di capitalizzazione è generalmente un anno e si parla di capitalizzazione annua, qualora il periodo sia inferiore all’anno si parla di capitalizzazione frazionata.

Si consideri t = 1, calcoliamo il montante M₁ al primo anno

M₁ = C (1 + i)

Poi quello al secondo anno applicando l’interesse sul nuovo capitale

M₂ = M₁ (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)²

Vediamo cosa succede al terzo anno

M₃ = M₂ (1 + i) = C (1 + i)² (1 + i) = C (1 + i)³

Procedendo in modo analogo per t anni il montante sarà

M = C (1 + i)^t

Il montante a interesse composto all'epoca t si calcola quindi moltiplicando il capitale per il fattore
di capitalizzazione composta (1 + i)^t.

Confronto capitalizzazione semplice e composta

Si consideri la formula del montante a interesse semplice e composto:

semplice: M = C (1 + it)

composto: M = C (1 + i)^t
con medesimo capitale iniziale e medesimo tasso d’interesse.
Le due curve sono uguali quando sussiste la seguente relazione

C (1 + it) = C (1 + i)^t

dalla quale eliminando il capitale si ottiene

(1 + it) = (1 + i)^t

Questa relazione ha soluzioni immediate e uniche solo per t = 0 e t = 1, cioè significa che inizialmente il montante è lo stesso, infatti corrisponde al capitale iniziale, e dopo un anno le due curve sono ancora identiche.
Dall’analisi del grafico si deduce che il montante ad interesse semplice è più alto per periodi inferiori all’anno, mentre è più alto quello ad interesse composto per periodi superiori all’anno.

Formule inverse

giovedì 12 maggio 2016

Un tasso vale l'altro...?

* Un capitale di 5000 viene impiegato ad un regime di

interesse semplice per 18 mesi. Determinare a quale tasso annuo di interesse

il montante prodotto e uguale ai 7/6

del capitale impiegato. [11,111%]

Tizio ha concesso i seguenti prestiti:

a) due anni fa la somma di 800 ad interesse semplice al tasso annuo del 7%

b) un anno e tre mesi fa la somma di 600

Sapendo che egli riceve oggi la somma complessiva di 1564,50 determinare

a quale tasso annuo d'interesse e stato concesso il secondo prestito. [7%]

giovedì 5 maggio 2016

A proposito di web marketing...

La nostra scuola anticipa il più importante quotidiano economico italiano!

domenica 10 aprile 2016

Per esercitarsi...

Ricordate PER SEMPRE che ci deve essere omogeneità fra tasso e tempo (tasso annuale -> tempo espresso in anni, tasso mensile -> tempo espresso in mesi ecc.)

1. Determinare l’interesse semplice di € 50.000 impiegati al 2,25% trimestrale per:

a) 1 anno

b) 4 mesi

c) 25 giorni (anno commerciale)

2. Determinare l’interesse semplice di € 25.000 impiegati al 4,5% semestrale per:

a) 2 anni

b) 8 mesi

c) 25 giorni (anno commerciale)

3. Determinare il capitale che:

a) impiegato per 1 anno al 9% annuo genera l’interesse semplice di € 1249,20;

b) impiegato per 1 anno al 4,5% semestrale genera l’interesse semplice di € 625;

c) impiegato per 1 anno al 2% mensile genera l’interesse semplice di € 420;

d) Al 3% annuo genera in due anni l’interesse semplice di € 4.348,80;

4. Determinare a quale tasso annuo sono stati impiegati:

a) €18.400, se in 3 anni hanno dato l’interesse semplice di € 2.200;

b) €31.000, se in 8 mesi hanno dato l’interesse semplice di € 1.240;

c) €7.200, se in 28 giorni hanno dato l’interesse semplice di € 39,20;

5. Calcolare per quanto tempo sono stati impiegati a interesse semplice:

a) €4.200, se al 6% annuo hanno fruttato €756

b) €3.400, se al 4% annuo hanno fruttato €20,40

c) €8.400, se al 5% annuo hanno fruttato €140

d) €17.650, se al 2,25% trimestrale hanno fruttato €1.170

Quale legge matematica fa crescere i miei soldi???

REGIMI DI CAPITALIZZAZIONE

Ogni volta che si calcola un montante, si sta eseguendo un procedimento detto capitalizzazione.

Nella realtà vengono applicati due regimi di capitalizzazione (che studieremo!):

a) capitalizzazione semplice, in cui l’interesse non produce altro interesse, perché è solo il capitale iniziale a fruttare;

b) capitalizzazione composta, in cui l’interesse è fruttifero, perchè alla fine di ogni periodo si aggiunge al capitale iniziale e produce a sua volta un interesse nei periodi successivi.

Ci occuperemo intanto di ...

CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE

Nella capitalizzazione semplice, l’interesse I è direttamente proporzionale al capitale C , al tasso i , al tempo t . Pertanto si calcola con la formula : I = Cit ( si utilizza quando il tasso è annuo e il tempo è espresso in anni )

Se il tasso non è annuo, ma riferito ad una frazione di anno (tasso semestrale i₂; tasso quadrimestrale i₃, tasso trimestrale i₄, tasso bimestrale i₆, tasso mensile i₁₂), anche il tempo andrà riferito nella stessa unità di misura del tasso.

Esempio 1) Calcolare l’interesse prodotto da 500 € impiegati per 2 anni e 6 mesi al tasso trimestrale i₄ = 0,03

t = 2a 6 m = 2x12 + 6 = 30 mesi, poiché il tasso è trimestrale e in un trimestre ci sono 3 mesi ®

t = 30/3® I = 500 x 0,03 x 10 = 150 €

PROBLEMI INVERSI DELLA CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE (NOTO I)

Dalla formula I = Cit, si possono ricavare le formule inverse che permettono di calcolare C,i, t , quando sono noti gli altri 3 elementi.

C = I/(i*t); i = I/(C*t); t = I/(C*i)

MONTANTE SEMPLICE

Il montante come sappiamo è la somma del capitale iniziale C con l’ interesse I maturato al termine dell’operazione, cioè al tempo t.

Quindi conoscendo C e I ® M = C + I .

Se non si conosce I e non serve calcolarlo, il montante M può essere calcolato con la formula:

Il fattore ( 1 + it ) è detto fattore di capitalizzazione semplice, perché esso rappresenta il montante nel regime di capitalizzazione semplice, di 1 euro al tasso i e per il tempo t.

GRAFICO di M

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, il montante M si può rappresentare graficamente come una funzione lineare

Da M = C + Cit, posto M = y e t = x ® y = Ci * x + C è l’equazione di una retta, ma uscente da un punto su asse y di coordinate ( 0; C)

Matematica finanziaria ("Prof, quando rifacciamo la matematica NORMALE???")

La matematica finanziaria si occupa delle operazioni finanziarie.

Per operazione finanziaria si intende quella operazione nella quale avviene uno scambio di capitali, intesi come somme di denaro, riferiti a epoche diverse.

Tutte le operazioni finanziarie sono sempre legate al fattore tempo.

Il tempo si può rappresentare graficamente mediante una retta orientata, detta asse dei tempi nella quale:

il verso della retta indica il trascorrere del tempo;

l’origine rappresenta l’istante in cui si incomincia a contare il tempo;
l’unità di misura è l’unità di tempo prescelta ( anno , semestre , mese….)

Operazioni finanziarie rappresentate sull'asse temporale

Chi sono gli ATTORI di un'OPERAZIONE FINANZIARIA?

Il capitale iniziale C: è il valore del capitale impiegato all’inizio dell’operazione finanziaria, cioè il capitale che frutterà un certo interesse

L’interesse I: è il compenso che spetta a chi presta un certo capitale C per un tempo t, ad un certo tasso di interesse.

Il tasso di interesse unitario annuo (i): rappresenta l’interesse prodotto in 1 anno dal capitale unitario di 1 € .

Il montante o valore finale M: è il valore del capitale C al quale è stato aggiunto l’interesse I. ® M = C + I

mercoledì 9 marzo 2016

Ricapitolando...

Ecco tutti i passi che ci portano a...

disegnare il grafico di una funzione!

mercoledì 17 febbraio 2016

"Le discese ardite...e le risalite..."

Studia crescenza, decrescenza e individua i punti di massimo e minimo relativi delle funzioni ai numeri V, VI e X

martedì 9 febbraio 2016

"Mi segui o no???" Quando la x cresce la y...

Rapporto incrementale positivo: funzione crescente!

Tutto inizia dal rapporto incrementale...

Quando il rapporto incrementale è POSITIVO, significa che la funzione è CRESCENTE nell'intervallo considerato.

Funzione decrescente: rapporto incrementale negativo!

Quando il rapporto incrementale è NEGATIVO, significa che la funzione è DECRESCENTE nell'intervallo considerato.

...e se consideriamo un incremento infinitesimo della x... otteniamo la DERIVATA della funzione!

Studiando il segno della derivata di una funzione y=f(x) (che indicheremo con f '(x), scopriremo in quali intervalli la funzione cresce (f ' >0), decresce (f '<0) o è stazionaria (f ' = 0).

Queste le regole di derivazione delle funzioni elementari: