Un tasso vale l'altro (la vendetta)...?

Trovi le formule dei tassi equivalenti
in capitalizzazione composta a pagina 9...
Ora risolvi:

Calcola il tasso trimestrale equivalente al tasso del 7,25% annuale. [i3 = 0,01765]

Calcola il tasso quadrimestrale equivalente al tasso del 9,35% annuale. [i4 = 0,03024]

Qual è il valore attuale di un capitale di € 4500 che scadrà fra 1 anno e 8 mesi al tasso di interesse composto del 9,5% annuo? [€ 3868,32]

Qual è il valore attuale di un capitale di € 5500 che scadrà fra 2 anni e 3 mesi al tasso di interesse composto del 10,5% annuo? [€ 4393,37]

Esercizi sulla capitalizzazione composta

Calcolare il montante ad interesse composto annuo dei seguenti capitali:
a) € 340, tasso annuo 6, 15% per 10 anni
b) € 1400, tasso annuo 6% per 2 anni e 3 mesi
c) € 3200, tasso annuo 5% per 124 giorni.

Calcolare quale capitale impiegato per 10 anni e 3 mesi ad interesse composto, al tasso annuo dell'8,5% da come montante € 9608.

Sei anni fa tizio ha versato presso una banca la somma di € 3500 . Inoltre tre anni e mezzo fa ha versato una certa somma x. Il montante complessivo che egli ritira oggi calcolato al tasso annuo composto del 9,75% è di € 9440,13. Calcolare l'importo del secondo versamento.

Determina l’interesse composto e il montante realizzato impiegando:
€ 1765 al 1,5% annuo per 8 anni;

Calcola il capitale che:
impiegato per 6 anni al 2,3 % annuo produce un montante complessivo di € 14700

Calcola il tasso annuo che, applicato ad un capitale di € 74000, frutta un interesse di € 500,70 in 5 anni

E se il montante cresce in modo esponenziale?

Capitalizzazione composta

Il regime di capitalizzazione composto consiste nella capitalizzazione periodica degli interessi.

Il periodo di capitalizzazione è generalmente un anno e si parla di capitalizzazione annua, qualora il periodo sia inferiore all’anno si parla di capitalizzazione frazionata.

Si consideri t = 1, calcoliamo il montante  M₁ al primo anno

M₁ = C (1 + i) 

Poi quello al secondo anno applicando l’interesse sul nuovo capitale

M₂ = M₁ (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)²

Vediamo cosa succede al terzo anno

M₃ = M₂ (1 + i) = C (1 + i)² (1 + i) = C (1 + i)³ 

Procedendo in modo analogo per t anni il montante sarà

M = C (1 + i)^t

Il montante a interesse composto all'epoca t si calcola quindi moltiplicando il capitale per il fattore
 di capitalizzazione composta (1 + i)^t.

Confronto capitalizzazione semplice e composta

Si consideri la formula del montante a interesse semplice e composto:

semplice: M = C (1 + it) 

composto: M = C (1 + i)^t
con medesimo capitale iniziale e medesimo tasso d’interesse.
Le due curve sono uguali quando sussiste la seguente relazione

C (1 + it) = C (1 + i)^t

dalla quale eliminando il capitale si ottiene

(1 + it) = (1 + i)^t

Questa relazione ha soluzioni immediate e uniche solo per t = 0 e t = 1, cioè significa che inizialmente il montante è lo stesso, infatti corrisponde al capitale iniziale, e dopo un anno le due curve sono ancora identiche.
Dall’analisi del grafico si deduce che il montante ad interesse semplice è più alto per periodi inferiori all’anno, mentre è più alto quello ad interesse composto per periodi superiori all’anno.

Formule inverse

Un tasso vale l'altro...?

* Un capitale di 5000 viene impiegato ad un regime di

 

interesse semplice per 18 mesi. Determinare a quale tasso annuo di interesse

il montante prodotto e uguale ai 7/6

del capitale impiegato.     [11,111%]

 

 

Tizio ha concesso i seguenti prestiti:

a) due anni fa la somma di 800 ad interesse semplice al tasso annuo del 7%

b) un anno e tre mesi fa la somma di 600

Sapendo che egli riceve oggi la somma complessiva di 1564,50 determinare

a quale tasso annuo d'interesse e stato concesso il secondo prestito.  [7%]

 

 

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Per esercitarsi...

Ricordate PER SEMPRE che ci deve essere omogeneità fra tasso e tempo (tasso annuale -> tempo espresso in anni, tasso mensile -> tempo espresso in mesi ecc.)

1.      Determinare l’interesse semplice di € 50.000 impiegati al 2,25% trimestrale per:

a)      1 anno

b)      4 mesi

c)      25 giorni (anno commerciale)

 

2.      Determinare l’interesse semplice di € 25.000 impiegati al 4,5% semestrale per:

a)      2 anni

b)      8 mesi

c)      25 giorni (anno commerciale)

 

3.      Determinare il capitale che:

a)      impiegato per 1 anno al 9% annuo genera l’interesse semplice di € 1249,20;

b)      impiegato per 1 anno al 4,5% semestrale genera l’interesse semplice di € 625;

c)      impiegato per 1 anno al 2% mensile genera l’interesse semplice di € 420;

d)      Al 3% annuo genera in due anni l’interesse semplice di € 4.348,80;

 

4.      Determinare a quale tasso annuo sono stati impiegati:

a)      €18.400, se in 3 anni hanno dato l’interesse semplice di € 2.200;

b)      €31.000, se in 8 mesi hanno dato l’interesse semplice di € 1.240;

c)      €7.200, se in 28 giorni hanno dato l’interesse semplice di € 39,20;

 

5.      Calcolare per quanto tempo sono stati impiegati a interesse semplice:

a)      €4.200, se al 6% annuo hanno fruttato €756

b)      €3.400, se al 4% annuo hanno fruttato €20,40

c)      €8.400, se al 5% annuo hanno fruttato €140

d)      €17.650, se al 2,25% trimestrale hanno fruttato €1.170

 

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REGIMI  DI  CAPITALIZZAZIONE

Ogni volta che si calcola un montante, si sta eseguendo un procedimento detto capitalizzazione.

Nella realtà vengono applicati due regimi di capitalizzazione (che studieremo!):

a)      capitalizzazione semplice, in cui l’interesse non produce altro interesse, perché è solo il capitale iniziale a fruttare;

b)      capitalizzazione composta, in cui l’interesse è fruttifero, perchè alla fine di ogni periodo si aggiunge al capitale iniziale e produce a sua volta un interesse nei periodi successivi.

 Ci occuperemo intanto di ...

CAPITALIZZAZIONE   SEMPLICE

Nella capitalizzazione semplice, l’interesse I è direttamente proporzionale al capitale C , al tasso i , al tempo t . Pertanto si calcola con la formula :  I = Cit  ( si utilizza quando il tasso è annuo e il tempo è espresso in anni )

Se il tasso non è annuo, ma riferito ad una frazione di anno  (tasso semestrale i₂; tasso quadrimestrale i₃, tasso trimestrale i₄, tasso bimestrale i₆, tasso mensile i₁₂), anche il tempo andrà riferito nella stessa unità di misura del tasso.
 

Esempio 1) Calcolare l’interesse prodotto da 500 € impiegati per 2 anni e 6 mesi al tasso trimestrale i₄ = 0,03

t = 2a 6 m = 2x12 + 6 = 30 mesi, poiché il tasso è trimestrale e in un trimestre ci sono 3 mesi ®

t = 30/3®     I = 500 x 0,03 x  10 = 150  €
 

PROBLEMI  INVERSI  DELLA  CAPITALIZZAZIONE SEMPLICE  (NOTO  I)

Dalla formula   I = Cit, si possono ricavare le formule inverse  che permettono di calcolare C,i, t , quando sono noti gli altri 3 elementi.

C = I/(i*t);      i = I/(C*t);       t = I/(C*i)

MONTANTE   SEMPLICE

Il montante come sappiamo è la somma del capitale iniziale C con l’ interesse I  maturato al termine dell’operazione, cioè al tempo t.

Quindi  conoscendo C e I    ®  M = C + I .

Se non si conosce I e non serve calcolarlo, il montante M può essere calcolato con la formula:

 

Il fattore  ( 1 + it ) è detto fattore di capitalizzazione semplice, perché esso rappresenta il montante nel regime di capitalizzazione semplice, di 1 euro al tasso i e per il tempo t.

 GRAFICO  di  M

Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale,  il montante M si può rappresentare graficamente  come  una funzione lineare

 

Da M = C + Cit, posto  M = y e  t = x  ® y = Ci * x + C  è l’equazione di una retta, ma uscente da un punto su asse y di coordinate ( 0; C)