Esercizi sulla capitalizzazione composta

Calcolare il montante ad interesse composto annuo dei seguenti capitali:
a) € 340, tasso annuo 6, 15% per 10 anni
b) € 1400, tasso annuo 6% per 2 anni e 3 mesi
c) € 3200, tasso annuo 5% per 124 giorni.

Calcolare quale capitale impiegato per 10 anni e 3 mesi ad interesse composto, al tasso annuo dell'8,5% da come montante € 9608.

Sei anni fa tizio ha versato presso una banca la somma di € 3500 . Inoltre tre anni e mezzo fa ha versato una certa somma x. Il montante complessivo che egli ritira oggi calcolato al tasso annuo composto del 9,75% è di € 9440,13. Calcolare l'importo del secondo versamento.

Determina l’interesse composto e il montante realizzato impiegando:
€ 1765 al 1,5% annuo per 8 anni;

Calcola il capitale che:
impiegato per 6 anni al 2,3 % annuo produce un montante complessivo di € 14700

Calcola il tasso annuo che, applicato ad un capitale di € 74000, frutta un interesse di € 500,70 in 5 anni

E se il montante cresce in modo esponenziale?

Capitalizzazione composta

Il regime di capitalizzazione composto consiste nella capitalizzazione periodica degli interessi.

Il periodo di capitalizzazione è generalmente un anno e si parla di capitalizzazione annua, qualora il periodo sia inferiore all’anno si parla di capitalizzazione frazionata.

Si consideri t = 1, calcoliamo il montante  M₁ al primo anno

M₁ = C (1 + i) 

Poi quello al secondo anno applicando l’interesse sul nuovo capitale

M₂ = M₁ (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)²

Vediamo cosa succede al terzo anno

M₃ = M₂ (1 + i) = C (1 + i)² (1 + i) = C (1 + i)³ 

Procedendo in modo analogo per t anni il montante sarà

M = C (1 + i)^t

Il montante a interesse composto all'epoca t si calcola quindi moltiplicando il capitale per il fattore
 di capitalizzazione composta (1 + i)^t.

Confronto capitalizzazione semplice e composta

Si consideri la formula del montante a interesse semplice e composto:

semplice: M = C (1 + it) 

composto: M = C (1 + i)^t
con medesimo capitale iniziale e medesimo tasso d’interesse.
Le due curve sono uguali quando sussiste la seguente relazione

C (1 + it) = C (1 + i)^t

dalla quale eliminando il capitale si ottiene

(1 + it) = (1 + i)^t

Questa relazione ha soluzioni immediate e uniche solo per t = 0 e t = 1, cioè significa che inizialmente il montante è lo stesso, infatti corrisponde al capitale iniziale, e dopo un anno le due curve sono ancora identiche.
Dall’analisi del grafico si deduce che il montante ad interesse semplice è più alto per periodi inferiori all’anno, mentre è più alto quello ad interesse composto per periodi superiori all’anno.

Formule inverse

Un tasso vale l'altro...?

* Un capitale di 5000 viene impiegato ad un regime di

 

interesse semplice per 18 mesi. Determinare a quale tasso annuo di interesse

il montante prodotto e uguale ai 7/6

del capitale impiegato.     [11,111%]

 

 

Tizio ha concesso i seguenti prestiti:

a) due anni fa la somma di 800 ad interesse semplice al tasso annuo del 7%

b) un anno e tre mesi fa la somma di 600

Sapendo che egli riceve oggi la somma complessiva di 1564,50 determinare

a quale tasso annuo d'interesse e stato concesso il secondo prestito.  [7%]

 

 

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